提琴声中的摩擦原理

音乐家和科学家对小提琴的音质、演奏性能与琴弓一琴弦摩擦的关系已经进行了多年的研究。例如挪威人古特勒(K.Guettler)靠自学成才成为著名的大提琴家，后来又到瑞典王家技术学院做博士论文，研究弓一弦摩擦对弦乐乐器演奏性能的影响。又如研究弓-弦摩擦的代表人物之一、英国剑桥大学伍德豪斯(Jim Woodhouse)教授本人也是技艺高超的小提琴手。

但最有名的还要算德国大科学家亥姆霍兹，他早在140多年前就发现，提琴琴弦振动时的瞬态形状为V字型、即琴弦形状呈两段直线，直线的一端分别固定于演员手指和琴桥(琴马)的位置，另一端相交于被称为『亥姆霍兹角』的V型顶角，如图上所示，演奏时该顶角会在手指和琴桥两点间快速移动，人们平时见到琴弦的光滑振型(图中的虚线所示)实际上是这种亥姆霍兹角运动所形成的包络线。

提琴声音质量的优劣取决于琴弦的振动能否快速地达到理想的『亥姆霍兹运动』状态，而亥姆霍兹运动的实现和实现速度又取决于琴弓的压力、速度和位置等因素。压力太小时琴弓只是在琴弦轻轻滑过，发出吱吱的『表皮声』，而压力太大则会使琴弦产生沙哑的声音，这些状态下都不可能实现理想的亥姆霍兹运动。20世纪70年代初就有人用数学模型给出了亥姆霍兹运动与琴弓压力和位置关系的示意图，结果表明当琴弓位置靠近压弦手指(即上图的右端)时亥姆霍兹运动比较容易实现，声音也会相应好听一些。

提琴的乐声产生于琴弦的振动，其振动频率大约在2500 Hz，而琴弓在弦上的拉动速度约为每分钟十几次左右。为什么琴弓在弦上的慢速拉动会引起琴弦的高频振动呢?研究表明，琴弦的振动源自琴弓与琴弦之间一种叫『粘-滑』，的特殊运动。当拉动琴弓时，琴弦与琴弓在发生接触的一段时间内是相对静止的，即琴弦似乎与琴弓粘结在一起，并随着琴弓的拉动发生变形。当琴弦变形的弹性能积累到一定程度琴弦会和琴弓突然分离，快速返回自己最初的平衡位置，并以其固有频率发生振动。琴弦在回到其平衡位置后又会重新与琴弓发生粘着、变形，然后再分离，形成周期性的『粘着』，与『滑动』的交替运动。这是摩擦过程中一种典型的振动现象，称为『粘-滑』(stick-slip)。从力学角度分析，粘滑现象源自琴弦-琴弓动力学系统稳定性的破坏，导致Hopf分岔和琴弦的自激振动，从而发出了优美的琴声。同时，粘滑也是许多其它类型摩擦噪声发生的原因。

为了研究琴弦-琴弓的粘滑现象，美国科学家最近设计了一种实验装置来模拟琴弓与琴弦的相互作用:他们用一根涂有松香的细杆(模拟琴弓)在一定压力下、以一定的速度滑过一根金属琴弦，在这套装置上可以精确测量琴弦-细杆间的相对运动速度和摩擦力，结果如上图所示。

图(a)是在理想亥姆霍兹运动状态下，琴弦-细杆的相对运动速度随时间的变化规律，可以看到琴弦与细杆一个周期中的大部分时间处于相对静止的粘着状态，而两个速度尖峰则表示细杆与琴弦发生了快速的相对滑动。图(b)是在亥姆霍兹运动状态下细杆-琴弦间的摩擦力随细杆滑动距离的变化规律，显示了在滑动发生时刻摩擦力的剧烈变化。

上图是用电子显微镜拍摄的细杆表面的放大照片，图中水平轴是细杆的滑动方向，而垂直轴是琴弦的走向.图中可以看到细杆表面有一些伤痕，这是由于细杆表面的松香涂层受到刮伤而形成的。刮伤区域的间隔大体相等，仔细观察还能看到位于两个刮伤区中间部分的松香上有轻微的水平划痕。这些特征正是细杆在琴弦上发生粘-滑运动的结果，刮伤是由于细杆与琴弦间发生粘着和突然分离所造成的，其间隔相当于一个粘滑周期中细杆-琴弦的滑动距离，而水平划痕则是滑动时留下的摩擦痕迹。

上述结果明确无误地证明了细杆-琴弦间发生的粘滑运动，但对于造成粘滑的原因人们还有不同的看法。一种流行的观点把引发粘滑的原因归结为摩擦力的一种特殊性质，即摩擦力随着速度增加而减小，所谓“动摩擦小于静摩擦”就是这种性质的一个粗略描述。摩擦随速度改变的性质会破坏琴弓-琴弦动力学系统的稳定性、导致粘滑和琴弦自振，但是伍德豪斯教授和美国卡内基梅隆大学舒马赫(Bob Schu-macher)教授的研究组提出了不同的观点。他们通过实验发现琴弦-琴弓间的摩擦力并不遵从常规摩擦试验中的摩擦-速度关系，因此认为摩擦一速度依赖性不足以解释琴弦-琴弓发生粘滑和动力学失稳的机理，并提出了自己的粘滑模型，此模型假定松香在粘滑中起着关键的作用:粘着阶段琴弦-琴弓界面上的松香受到剪切作用，当剪切力达到松香能承受的最大极限即材料剪切强度时，同样会导致系统的动力学失稳和突然滑动。由于琴弦和弓的粘滑和摩擦还会引起表而发热，而温度升高又会使松香变软而影响其剪切强度。同时，当亥姆霍兹角运动到琴弓和琴弦接触位置时也会诱发弓-弦间的突然滑动，所以琴弦一琴弓的相互作用和相对运动是一个异常复杂的过程。

将粘滑摩擦模型和琴弦的振动方程及波导方程相结合，科学家现在可以用计算机来模拟提琴演奏时琴弓-琴弦的相互作用和运动规律、并预测实现理想亥姆霍兹运动和产生优美琴声的条件。不过从科学上讲，粘滑的发生机理并没有完全搞清楚，在今后一段时间内各种不同的观点和模型会同时并存。此外，现有理论模型还在继续发展，以考虑琴弓-琴弦作用中许多微妙囚素影响，如琴弦的张紧度、琴弓鬃毛宽度、演奏者用弓手法等。相信通过不断探索，人们对琴声中摩擦原理的认识将会更加完善。